Institut de Recherche sur l'Enseignement des Mathématiques de Paris

Les fondements de la géométrie affine ont pris corps le jour où l'on a compris ce qui se rapportait en géométrie plane classique aux droites et à leur parallélisme, et lorsque l'on a su distinguer entre les propriétés propres à la géométrie euclidienne et celles qui ne l'étaient pas. Autrement dit, la géométrie affine naquit lorsque l'on a réalisé ce qui gérait les figures de la bonne géométrie que faisait Euclide, une fois oubliées les notions de distance et d'angle. L'irruption, avec Descartes, des méthodes analytiques a sans doute retardé l'émancipation affine puisque la présence d'un repère occultait, depuis, les propriétés affines au détriment de celles qui sont linéaires. Ce n'est que plus récemment que le plan affine a retrouvé sa place au soleil comme ensemble de points où l'on n'a privilégié aucun d'entre eux (cet affranchissement par rapport à une prétendue origine, est souvent illuminant, et redresse favorablement les petits et grands inconvénients qu'apporte dans son sillage, l'identification de l'espace affine à l'espace vectoriel sous-jacent), et où opèrent (de façon simplement transitive) les translations. C'est souvent à travers une distinction menée systématiquement entre les propriétés affines et celles qui sont euclidiennes, que l'on saisit mieux les fondements de la géométrie affine, un peu comme si l'on faisait comprendre l'idée d'harmonie par opposition à celle de discorde.
Je m'efforcerai dans cet exposé de retracer l'histoire de la géométrie affine aussi bien chez les géomètres modernes que dans les programmes successifs de l'enseignement secondaire, puis je proposerai d'en discuter les aspects les plus significatifs, pour aboutir à une présentation de cette géométrie intimement liée à celle de l'espace projectif. Une discussion sur les outils analytiques de chacune de ces géométries sera indispensable pour une meilleure appréciation de leur unité.