Institut de Recherche sur l'Enseignement des Mathématiques de Paris

La dérivabilité est une notion naturelle puisque, rapidement dit, elle exprime l'existence d'une vitesse. Pour autant, ces objets mathématiques hybrides que sont les fonctions dérivables, à corps continu et à tête C1, possèdent des lambeaux de propriétés, positives ou négatives, qui rendent de nombreuses questions élémentaires difficiles à résoudre. Par exemple : existe-t-il une fonction qui ne soit monotone sur aucun intervalle ? Il est facile de répondre « oui » s'il s'agit de fonctions continues et « non » s'il s'agit de fonctions continûment dérivables. Mais qu'en est-il pour les fonctions dérivables ? Nous poserons de telles questions et répondrons à quelques unes. La littérature, notamment française, s'est énormément épanchée à ce sujet, et on trouvera davantage dans cette conférence l'occasion de se souvenir que de se projeter.