Institut de Recherche sur l'Enseignement des Mathématiques de Paris

Evariste Galois est abondamment fêté en cet automne 2011, bicentenaire de sa naissance, et ce n'est que justice. Le séminaire de l'IREM de Paris se devait de participer à cet hommage. Notre ambition sera de montrer comment la théorie mathématique créée par Galois, réputée difficile, peut être présentée et illustrée à l'aide de notions simples, accessibles à un élève motivé de classes préparatoires ou à un professeur de mathématiques ayant gardé intact l'amour pour sa discipline. La théorie de Galois établit une correspondance biunivoque entre des ensembles ordonnés ayant une structure très naturelle (des treillis) sur lesquels agit un groupe fini G. D'un côté, interviennent les sous-extensions d'une extension algébrique "galoisienne" de Q et de l'autre les sous-groupes du groupe G. Dans certains cas, la géométrie permet d'avoir une excellente vision de la situation côté groupes, et le paysage côté corps s'en trouve alors parfaitement éclairé, grâce à la correspondance de Galois. Toutes les définitions nécessaires seront données. On s'attachera à étudier des exemples où les groupes qui interviennent sont de petits groupes finis issus de la géométrie du plan ou de l'espace, ce qui suffit pour comprendre l'idée essentielle de Galois. On conclura en parlant de constructibilité à la règle et au compas et de résolution des équations algébriques par radicaux, notions intimement liées à la théorie de Galois.